Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Рис. 340 и 341. Броуновские оболочки / острова; Броуновское движение без самопересечений

Броуновская петля.Под этим термином я подразумеваю след, покрываемый за некоторое конечное время Δt плоским броуновским движением, возвращающимся к своей исходной точке. Этот след представляет собой случайную кривую Пеано, длина инициатора которой равна нулю.

Рис. 341. Броуновская оболочка.Будучи (почти наверное) ограниченной, броуновская петля разбивает плоскость на две области: внешнюю, любая точка которой может быть соединена с некой отдаленной точкой без пересечения петли, и внутреннюю, которую я предлагаю называть броуновской оболочкой или броуновским островом.

Рис. 340.На этом рисунке представлена оболочка броуновского следа, не образующего петли.

Комментарий.Я не знаю, проводил ли кто-нибудь исследование броуновских оболочек, но полагаю, что они заслуживают самого пристального внимания. Образцы, изображенные справа, являются результатом 200 000 броуновских шагов, каждый из которых построен на растре 1200×1200 .

По способу построения броуновские оболочки, соответствующие различным значениям Δt , статистически тождественны, за исключением масштаба. И имеются все основания полагать, что мелкие детали границы оболочки асимптотически самоподобны (нет только конкретных доказательств). Граница не может быть масштабно-инвариантной в строгом смысле, так как петлю нельзя разделить на участки одинаковой структуры, однако малые подучастки подходят к масштабно - инвариантности весьма близко.

Броуновское движение без самопересечений.По причинам, подробно изложенным в главе 36, где мы рассмотрим случайное блуждание без самопересечений, я предлагаю для обозначения границы броуновской оболочки термин броуновское движение без самопересечений.

Размерность броуновского движения без самопересечений.Интерпретировав некоторые известные соотношения (они приведены в главе 36) в том смысле, что размерность случайного блуждания без самопересечений составляет 4/3 , я предполагаю, что это верно и для броуновского движения без самопересечений.

Эмпирическая проверка этого предположения дает замечательную возможность проверить заодно и соотношение между длиной и площадью, полученное в главе 12. Плоскость покрывается квадратными решетками (с каждым разом все более частыми), а мы считаем количество квадратов со стороной G , пересекаемых а) оболочкой – получается G - площадь – и б) ее границей – получается G - длина. Графики зависимости G - длины от G - площади в двойном логарифмическом масштабе оказываются замечательно прямыми, причем их угловые коэффициенты практически совпадают с D/2=(4/3)/2=2/3 .

Сходство между кривыми на рис. 341 и 325 – и между их размерностями – также заслуживает упоминания.

Замечание.Наибольшие открытые области на рис. 341, которую B(t) не посещает, показаны серым цветом. Их можно рассматривать как тремы, ограниченные фрактальными кривыми; следовательно, петля представляет собой сеть – в том смысле, который мы вкладывали в этот термин в главе 14.

Возникает вопрос: чем же является петля с точки зрения степени ветвления – салфеткой или ковром? Я предполагаю, что верно последнее, так как броуновские сети удовлетворяют свойству Уайберна, описанному на с. 201 (пока неопубликованной). Следовательно, броуновский след также можно считать универсальной кривой в смысле, определенном на с. 209.

Предыдущие определения броуновского движения основывались либо на временнóй решетке, либо и на временнóй, и на пространственной, однако в окончательном результате эти «подпорки» никак себя не проявляют. Я полагаю, что и при описании этого самого результата вполне возможно обойтись без них.

В прямом описании Башелье [12] постулируется, что на некоторой произвольной последовательности равных приращений времени Δt векторы смещения ΔB(t) независимы, изотропны и случайны с гауссовым распределением вероятности. Таким образом,

<���ΔB(t)>=0 и <[ΔB(t)] 2>=|Δt| .

Следовательно, среднеквадратическое значение ΔB равно √|Δt| . Это определение не зависит от системы координат, но проекция вектора смещения ΔB(t) на любую ось представляет собой гауссову скалярную случайную переменную с нулевым средним и дисперсией, равной ½|Δt| .

Определение, полюбившееся математикам, идет дальше и обходится без разделения времени на равные промежутки. Оно требует изотропии движений между любой парой моментов времени t и t 0 >t . Оно требует независимости движения от предыдущего положения точки. Наконец, оно требует, чтобы вектор из точки B(t) в точку B(t 0 ) , деленный на √|t 0−t| , имел приведенную гауссову плотность распределения для всех t и t 0 .

Движение коллоидной частицы в однородно текущей реке или электрона в медном проводнике можно представить как B(t)+δt . След этой функции неотличим от следа функции B(t) при t≪1/δ 2 и от следа функции δt при t≫1/δ 2 . Таким образом, при t c∝1/δ 2 и r c∝1/δ размерность следа понижается от D=2 к D=1 . В терминологии критических феноменов величина δ символизирует расстояние от критической точки, а показатели в формулах для t c и r c представляют собой критические показатели.

Рандомизация кривых Пеано через срединное смещение проходит так гладко только благодаря исключительным обстоятельствам. Аналогичные конструкции, имеющие в своей основе кривую Пеано с N>2 , значительно более сложны. Кроме того, если смещение средней точки следует гауссову распределению среднеквадратического значения, равного ½|ΔB| (т.е. r 1 и r 2 суть гауссовы независимые переменные, связанные уже знакомым нам соотношением 1 2+r 2 2−1>=0 ), то тем самым достигается более тесный параллелизм с неслучайным скейлингом. Получаемый в этом случае процесс весьма интересен. Только он не является броуновским движением. И все из-за складок.