Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Правило сложения коразмерностей можно использовать для доказательства следующего утверждения (некоторое время назад мы уже говорили об этом): броуновское движение почти наверное не возвращается в свою начальную точку B(0)=0 , однако почти наверное бесконечно часто проходит в произвольной окрестности этой точки. Для того чтобы придать нашим рассуждениям более общий вид и сделать их пригодными для последующего применения в главе 27 без дополнительной корректировки, обозначим размерность броуновского нуль – множества буквой H .

В моменты возвращения B(t) в 0 одновременно выполняются следующие равенства: X(t)=0 и Y(t)=0 . Следовательно, эти моменты должны принадлежать пересечению нуль – множеств функций X(t) и Y(t) , каковые множества не зависят друг от друга. Размерность пересечения равна 1−2H , что при H=½ составляет D=0 . Такое значение размерности можно расценивать как явный намек (но всего лишь намек, так как полное доказательство гораздо сложнее) на то, что B(t) почти наверное не возвращается в точку B(0)=0 .

А теперь рассмотрим множество моментов времени, когда B(t) попадает в точку, расположенную внутри горизонтального квадрата со стороной 2ε и центром в точке 0. Это множество можно приближенно представить как пересечение множеств моментов t , находящихся на расстоянии ε 1/H от точек нуль – множеств функций X(t) и Y(t) , соответственно. Для каждого из этих множеств масса, заключенная во временнóм промежутке [0,t] , пропорциональна ε 1/H t 1−H , а вероятность того, что именно этот промежуток содержит нужный момент t , пропорциональна ε 1/H t −H . Следовательно, вероятность того, что момент t принадлежит пересечению этих множеств, пропорциональна ε 2/H t −2H . Поскольку H=½ , получаем ∫ ∞t −2Hdt=∞ ; на этом основании в теореме, предложенной Борелем и Кантелли, делается вывод, что количество возвращений B(t) в квадрат с центром в точке 0 почти наверное бесконечно. Впрочем, можно сказать и «чуть ли не бесконечно». Как следствие, пустоты в ограниченных броуновских сетях начинают – медленно и с видимой неохотой – заполняться.

Можно генерировать броуновское движение и случайным блужданием на решетке. Здесь мы только упомянем о возможности такого подхода; более подробное обсуждение, ввиду наличия в нем некоторых сложностей, отложим до главы 36.

Мы говорим, что точка P(t)={X(t),Y(t)} , вложенная в ℝ 2 , совершает случайное блуждание, если в каждой из последовательных моментов времени, разделенных интервалом Δt , она перемещается на некоторое фиксированное расстояние |ΔP| в направлении, которое выбирается случайным образом из доступных в данной решетке.

Если решетка состоит из точек плоскости, координаты которых – целые числа, то величины (X+Y)/√2 и (X−Y)/√2 изменяются при каждом шаге на ±1 . Говорят, что каждая из этих величин совершает случайное блуждание на прямой (см. рис. 338). В приблизительном масштабе, т.е. при малом Δt и ΔP=√Δt , случайное блуждание неотличимо от броуновского движения.

Рис. 338 Выборочное случайное блуждание как приближение броуновской функции из прямой в прямую (размерность D=3/2 ) и ее нуль – множества (размерность D=1/2 )

Самая долгая (и самая простая!) из всех азартных игр началась приблизительно в 1700 г., когда в теории вероятности еще заправляла семья Бернулли. Если наша неизменно симметричная монета падает орлом вверх, то пенни выигрывает Генри, если же выпадает решка, пенни достается Томасу. (На самом деле их звали Петер и Пауль, но я так и не смог запомнить, который из них ставил на орла.)

Некоторое время назад понаблюдать за игрой заходил Уильям Феллер; результаты своих наблюдений он обобщил в виде графика зависимости совокупного выигрыша Генри от количества бросков монеты, каковой график вы можете видеть на рисунке вверху. (Воспроизводится по книге Феллера «Введение в теорию вероятности и ее приложения» (т.1) с любезного разрешения ее издателей, компании J, Wiley & Sons © 1950.)

Средний и нижний рисунки представляют совокупный выигрыш Генри за более продолжительную игру; данные снимаются через каждые 20 бросков.

Увеличивая длину наборов данных и уменьшая длину шага, асимптотически получаем выборку значений броуновской функции из прямой в прямую

На одной из своих лекций Феллер сообщил, что данные рисунки «нетипичны» и были выбраны среди нескольких других, графики на которых выглядели неправдоподобно разбросанно. Как бы то ни было, бесконечное (так мне казалось) созерцание этих графиков сыграло решающую роль в развитии двух теорий, включенных в настоящее эссе.

О графике в целом.В [342] имеется высказывание в том смысле, что форма всего графика целиком напоминает силуэт горного массива или вертикальный разрез земной коры. Пройдя через несколько обобщений, это наблюдение привело, в конце концов, к нескольким моделям, описанным в главе 28.

Нуль – множество графика.Нуль – множество графика есть множество моментов, когда кошельки Генри и Томаса возвращаются к тому состоянию, в котором они пребывали в момент начала наблюдения. По способу построения графика временные интервалы между нулями взаимно независимы. Однако совершенно очевидно, что положения этих нулей независимыми назвать никак нельзя – они образуют весьма явственные скопления. Например, если рассматривать вторую кривую в том же масштабе, что и первую, то почти каждый нуль предстает в виде целого скопления точек. Имея дело с математическим броуновским движением, эти скопления можно подразделять иерархически до бесконечности.

Когда ко мне обратились за помощью в построении модели распределения ошибок в телефонных линиях, я очень кстати вспомнил о графиках Феллера. Хотя было известно, что ошибки группируются в пакеты (в этом, собственно, и состояла практическая суть возникшей проблемы), я предположил, что интервалы между пакетами могут оказаться взаимно независимыми. Тщательное эмпирическое исследование подтвердило мое предположение и привело к созданию моделей, описанных в главах 8 и 31.

Броуновское нуль – множество образует простейшую пыль Леви, т.е. случайную канторову пыль с размерностью D=1/2 . Таким же образом можно получить и пыль любой другой размерности D в интервале между 0 и 1, нужно только взять нули другой случайной функции. С помощью этой модели можно даже определить фрактальную размерность телефонного канала. Точность значений D зависит от точности измерения характеристик моделируемого функцией физического процесса.