Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Формально это соотношение полностью идентично тому, что мы получили для кривых Коха (глава 6) или канторовой пыли (глава 8). И тем более идентично соотношению для классических случаев интервала, диска или шара однородной плотности.

Рандомизировав кривую Пеано, мы нежданно - негаданно получили гораздо больше, чем предполагали. В качестве предваряющего комментария заметим, что в моменты времени вида N −k неслучайные кривые Коха и Пеано непременно демонстрируют «складки». Разделив, например, треть границы снежинки на четыре части, мы обязательно обнаружим, что угол между первой и второй четвертями отличается от угла между второй и третьей. То есть спутать левую четверть со средней просто невозможно.

Броуновский же след лишен таких «складок». Имея перед глазами броуновский след на некотором интервале времени t , никак нельзя сказать, где именно на временнóй оси расположен этот интервал. В терминологии теории вероятности принято говорить, что броуновский след имеет «стационарные приращения».

Это свойство заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, на нем основывается альтернативное, «безрешеточное», определение броуновского движения, данное несколько дальше в этой же главе, а во-вторых, оно не имеет соответствий среди свойств аналогичных рандомизированных форм простых фрактальных кривых и поверхностей.

Из отсутствия складок вытекает весьма сильная форма статистического самоподобия. Положим B(0)=0 , выберем два положительных числа h и h' и воспользуемся разделом теории вероятности, который называется теорией слабой сходимости. Согласно этой теории, функции h −½ B(ht) и h' −½ B(h't) статистически тождественны. Положив далее T<���∞ и h<1 и изменяя t в интервале от 0 до T , мы обнаруживаем, что функция h −½ B(ht) представляет собой некоторое подобие участка функции B(t) в уменьшенном масштабе. Эту статистическую тождественность части целому можно рассматривать как форму самоподобия.

Самоподобие в приложении к случайным множествам – понятие не столь строгое, как то, с которым мы познакомились в главе 5, так как здесь части не обязательно должны быть в точности подобны целому. Достаточно того, что части и уменьшенное в масштабе целое имеют одинаковые распределения.

Заметим, что кривые Коха допускают только коэффициенты подобия вида r=b −k , где b - целое число, для броуновского же следа сгодится любое r . Весьма ценное свойство.

Особое значение для изучения броуновских функций имеют множества постоянства, или изомножества, координаты функций X(t) и Y(t) . Например, нуль – множество определяется в те моменты времени t , когда X(t)=0 .

Изомножества самоподобны; их очевидная чрезвычайная разреженность подтверждается и их фрактальной размерностью D=1/2 . Они представляют собой особый случай пыли Леви, которую мы рассмотрим в главе 32.

Распределение пустот в броуновских нуль – множествах.Длины пустот броуновского нуль – множества удовлетворяют соотношению Pr(U>u)=u −D , где D=1/2 . Аналогичное соотношение (Nr(U>u)=u −D) , как нам известно, применимо к длинам «пауз» в канторовой пыли; только здесь мы заменили Nr на Pr , а ступени исчезли из-за рандомизации.

Что же касается графиков функций X(t) и Y(t) , а также векторной функции B(t) , то они являются не самоподобными, а всего лишь самоаффинными. То есть участок кривой от t=0 до t=4 можно покрыть M=4 его уменьшенными копиями только при условии, что вдоль оси (осей) пространственных координат уменьшение по-прежнему происходит с коэффициентом подобия r=1/2 , а временнáя координата при этом уменьшается с другим коэффициентом r 2 =1/M . Следовательно, размерность подобия для графиков функций X(t) , Y(t) и B(t) не определена.

Более того, аффинные пространства таковы, что расстояния вдоль оси t и расстояния вдоль осей X(t) и Y(t) нельзя сравнивать друг с другом, а это означает, что диски определить невозможно. В результате соотношение M(R)∝R D не имеет в случае броуновских функций аналога, который мог бы послужить для определения размерности D .

С другой стороны, к ним применимо определение Хаусдорфа – Безиковича. Это вполне согласуется с высказанным в главах 5 и 6 утверждение о том, что определение размерности Хаусдорфа – Безиковича представляет собой наиболее общий – и наиболее громоздкий! – способ интуитивного постижения содержания понятия фрактальной размерности. Значение D для функции X(t) равно 3/2 , а для функции B(t) D=2 .

Набросок доказательства.На протяжении временнóго промежутка Δt значение разности max X(t)− min X(t) есть величина порядка √ Δt . Для покрытия этого подграфика функции X(t) квадратами со стороной Δt потребуется порядка 1/√Δt квадратов. Следовательно, для покрытия графика на интервале от t=0 до t=1 потребуется порядка (Δt) −3/2 квадратов. А поскольку это число равно также (Δt) −D (см. главу 5), можно эвристически заключить, что D=3/2 .

Нуль – множество броуновской функции из прямой в прямую представляет собой горизонтальное сечение броуновской функции X(t) . Применив правило, сформулированное в главе 23, можно предположить, что размерность нуль –множества составляет 3/2−1=1/2 ; как нам уже известно, так оно и есть. Другие приложения этого правила также обладают огромной эвристической ценностью, в чем мы убедимся немного позже. Правило это имеет и исключения, особенно в случае не изотропных фракталов. Например, вертикальное сечение броуновской функции из прямой в прямую – это всего лишь точка.

Рассуждая аналогичным образом, находим размерность линейного сечения броуновского следа из прямой в плоскость: 2−1=1 , и это в самом деле так.

В более общем виде стандартное правило можно сформулировать следующим образом: если не считать особых конфигураций, коразмерности E−D при пересечении складываются. Следовательно, коразмерность пересечения k плоских броуновских следов равна k⋅0=0 . В частности, можно ожидать, что точки самопересечения броуновского следа образуют множество с размерностью 2 (в самом деле, образуют). (И все же многочисленные точки самопересечения броуновского следа, равно как и сам броуновский след, не в состоянии заполнить плоскость.)