Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

В качестве достойного завершения этого обсуждения можно упомянуть об одной фрактальной морщине, появившейся недавно на лике квантовой механики. Фейнман и Хиббс [150] отмечают, что типичная траектория квантовомеханической частицы непрерывна и недифференцируема; кроме того, многие авторы усматривают явное сходство между броуновским и квантовомеханическим движениями (см., например, статью [441] и список литературы к ней). Вдохновившись этими параллелями и моими первыми эссе, Эббот и Уайз [2] показали, что наблюдаемая траектория частицы в квантовой механике представляет собой фрактальную кривую с размерностью D=2 . Интересная аналогия – по крайней мере, в педагогическом смысле.

Повествование, продолжаемое в этой главе, имеет логическое начало в середине предыдущей главы, сразу после раздела о генерации броуновского движения посредством рандомизации кривой Пеано.

Напомним, что k - й терагон броуновской функции B(t) прямолинеен между двумя последовательными моментами времени вида h2 −k , а (k+1) - й терагон получается посредством случайного смещения средних точек сторон k - го терагона. То же относится и к терагонам X k (t) и Y k (t) координатных процессов X(t) и Y(t) функции B(t) .

Поскольку процедура срединного смещения проходит совершенно гладко с кривыми, размерность которых D=2 , возникает вполне естественное желание попробовать адаптировать ее к оригинальной снежинке и другим кривым Коха с N=2 , а затем применить упомянутую процедуру к построению поверхностей. Этим мы сейчас и займемся.

Пытаясь воспроизвести и улучшить графику «Фракталов» 1977 г. и обойтись при этом наиболее прямыми и наименее дорогостоящими процедурами, многочисленные художники, специализирующиеся в создании фильмов и графических работ с помощью компьютера, применяли, как правило, один и тот же общий подход. Эти специалисты оказались не способны осознать, что метод случайного срединного смещения дает результаты, существенно отличающиеся от тех, что они стремились достичь. Простота и в самом деле входит в число достоинств этого метода, однако вместе с тем он обладает многими другими, часто вовсе нежелательными особенностями.

Напомним, что можно построить снежинку Коха с основанием N=2 , используя генератор, составленный из двух интервалов длины 1/√3 . В этом случае – вообще говоря, в любом случае, когда генератор состоит из двух интервалов длины 2 −1/D , где D<2 , - само построение определяет, в каком направлении смещаются средние точки сторон - го терагона: влево или вправо. Смещение всегда ортогонально к соответствующей стороне, и квадрат его длины задается следующей разностью:

2 −2(k+1)/D −2 −2(k/D+1) .

Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадратическому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. Обозначим ее через B * H(t) , где H=1/D , что вскоре получит исчерпывающее объяснение.

В результате соотношение между смещением ΔB * H на временнóм промежутке 2 −k и двумя интерполированными смещениями Δ 1B * H и Δ 2B * H принимает вид

<|Δ 1B * H| D+|Δ 2B * H| D−|ΔB * H| D>=0 ,

где D - некоторая произвольно заданная величина, меньшая 2.

Отсюда следует, что если временной интервал [t',t"] является двоичным, т.е. если t'=h2 −k и t''=(h+2)2 −k , то верно следующее:

<|ΔB * H| 2>=Δt 2/D=|Δt| 2H .

Величину H в качестве параметра мы выбрали потому, что она представляет собой показатель при среднеквадратическом смещении.

Можно также показать, что если ΔB * H(0)=0 , то функция B * H(t) статистически самоподобна относительно отношений приведения вида 2 −k . Это – весьма желательное обобщение наших знаний о конструкциях с размерностью D=2 .

Не будем, однако, радоваться слишком бурно. Функция B * H(t) является статистически самоподобной относительно отношений приведения иного, нежели 2 −k , вида только в пеано – броуновском случае (D=2) , когда она сводится к B(t) .

Более серьезная проблема возникает тогда, когда интервал [t',t"] не является двоичным, хотя и имеет ту же длину Δt=2 −k - например, если t'=(h−0,5)2 −k и t''=(h+0,5)2 −k . На таких интервалах приращение ΔB * H имеет иную и меньшую дисперсию, зависимую от k . Нижняя граница этой дисперсии выглядит как 2 1−2H Δt 2H . Более того, если известна величина Δt , а время t не известно, то распределение соответствующего приращения ΔB * H не является гауссовым, но представляет собой случайную смесь различных гауссовых распределений.

В результате складки, возникающие в двойных точках аппроксимирующего терагона, остаются и в предельной кривой. При размерности D чуть меньше 2 (т.е. при H чуть больше ½ ) складки довольно незначительны. Однако когда значение H приближается к 1 (в главе 28 мы увидим, что при моделировании рельефа поверхности Земли нам приходится иметь дело с H~0,8÷0,9 ), складки становятся очень заметными – их можно увидеть и на выборочных функциях. Единственным способом избежать их оказывается отказ от рекурсивной схемы срединного смещения, что мы и сделаем в следующем разделе и в главе 27.

Для того чтобы установить причину нестационарности кривых и поверхностей срединного смещения, рассмотрим координатную функцию X(t) некоторой кривой B * H(t) . На каждом этапе построения мы получаем некоторую ломаную функцию Δ k X(t)=X k (t)−X k−1 (t) , нуль – множество которой, во-первых, периодично с периодом 2 −k и, во-вторых, включает в себя нуль – множество функции Δ k−1 X(t) . То есть можно сказать, что каждая такая ломаная функция находится в синхронии со всеми последующими.