Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

«…и отворились все источники земные, и отверзлись хляби небесные. И лил дождь на землю сорок дней и сорок ночей.» Бытие, 6: 11-12.

«… и были семь лет великого изобилия во всей земле египетской. И были после них семь лет голода.» Бытие, 41: 29-30.

В истории Ноя сложно не увидеть иносказательного повествования о неравномерности выпадения осадков на Ближнем Востоке, а в истории Иосифа – о том, что дождливые и засушливые годы имеют тенденцию группироваться по нескольку подряд. В курсе лекций «Новые формы случайностей в науке» (не опубликованном, но частично изложенном в [405] и [373]) я даже предложил для описываемых в этих историях явлений особые термины: эффект Ноя и Эффект Иосифа.

Как подтверждают данные из достоверных источников, библейские «семь и семь» лет представляют собой не что иное, как поэтическое упрощение реальности, а любая кажущаяся периодичность в записях об уровне воды в Ниле – не более чем иллюзия (хотя это уже не так очевидно). С другой стороны, твердо установленным фактом является то, что последовательные годовые данные по стоку и уровню паводка Нила и многих других рек демонстрируют чрезвычайно высокую степень персистентности.

Эта персистентность в равной степени является и предметом живого интереса со стороны самых разных ученых, и жизненно важным фактором для проектировщиков плотин. Однако в течение долгого времени она оставалась недоступной измерению, а следовательно, и анализу. Как всякая наука, делающая свои первые шаги в статистике, гидрология начала с допущения, что последовательные объемы стока любой реки представляют собой независимые, одинаково распределенные гауссовы переменные, или белый гауссов шум. Следующим шагом стало допущение существования между ними марковской зависимости. Обе модели, однако, ни в малейшей степени не соответствуют реальности. Прорыв произошел вместе с выходом моей работы [348], основанной на эмпирических результатах Херста [232, 233]. (Биографию Херста читайте в главе 40.)

Обозначим через X * (t) совокупный сток реки за первый период от начала нулевого года до конца t - го года. Согласуем его посредством вычитания выборочного среднего стока за период между нулевым и d - м годами и определим величину R(d) как разность между максимумом и минимумом согласованного стока X * (t) при 0 . При таком определении величина R(d) представляет собой пропускную способность, какой должен обладать водоем для обеспечения идеального функционирования на протяжении соответствующего числа лет (d) . Водоем функционирует идеально, если уровень воды в нем в конце и в начале указанного периода одинаков, водоем никогда не пустеет, никогда не переполняется и производит однородный поток. Идеал, очевидно, недостижим, однако величину R(d) вполне можно брать за основу метода проектирования водохранилищ, - например метода, предложенного Рипплом и примененного при строительстве Асуанской плотины. Херсту пришло в голову, что R(d) можно использовать и в качестве инструмента исследования действительного поведения статистики речных стоков. Из соображений удобства он разделил R(d) на коэффициент подобия S(d) и рассмотрел зависимость отношения R(d)/S(d) от d .

Если допустить, что объемы годовых стоков представляют собой белый гауссов шум, то коэффициент S теряет свою значимость, а совокупный сток X * (t) , согласно известной теореме, приблизительно совпадает с броуновской функцией из прямой в прямую B(t) . Следовательно, пропускная способность R(d) прямо пропорциональна среднеквадратическому объему стока X * (d) , который, в свою очередь, прямо пропорционален √ d . Отсюда получаем R/S∝√d (см. [146]). Тот же результат верен и в том случае, если объемы годового стока зависимы, но зависимость эта марковская с конечной дисперсией, или в том случае, когда зависимость объемов стока принимает какую-либо из форм, описанных в элементарных учебниках по статистике или теории вероятности.

Однако, руководствуясь результатами наблюдений, Херст пришел к совершенно иному и абсолютно неожиданному выводу, который заключается в том, что R/S∝d H , где H почти всегда больше ½ . Объемы годового стока Нила (самые зависимые из всех) демонстрируют H=0,9 . Для рек Св. Лаврентия, Колорадо и Луары показатель H находится где-то между 0,9 и ½ . Рейн – река особенная, ее совершенно не волнует ни история Иосифа, ни феномен Херста, и она держит показатель H на уровне ½ с точностью до экспериментальной погрешности. Результаты всевозможных наблюдений можно найти в работе [407].

Флуктуацию (или шум) X(t) , для которой выполняется соотношение R/S∝d H , я предлагаю называть шумом Херста. В [384] показано, что величина показателя должна удовлетворять неравенству 0≤H≤1 .

В ответ на вызов Х. А. Томаса – младшего, усомнившегося в моей способности дать объяснение феномену Херста, я рискнул предположить, что дело здесь в масштабной инвариантности. Для того чтобы дать наглядное определение масштабно-инвариантного шума, вспомним о том, что любую естественную флуктуацию можно обработать таким образом, чтобы ее стало слышно – о чем, собственно, говорит и сам термин шум. Запишем ее на пленку и прослушаем через громкоговоритель, который точно воспроизводит диапазон частот, скажем, от 40 до 14 000 Гц. Затем прослушаем эту же пленку на большей или меньшей скорости. В общем случае можно ожидать, что характер звука существенно изменится. Скрипка, например, будет звучать совсем не так, как должна звучать скрипка. А если проиграть на достаточно большой скорости песню кита, то она станет слышимой для человеческого уха. Имеется, однако, некий особый класс звуков, которые ведут себя совсем иначе. Достаточно лишь подрегулировать громкость, и после изменения скорости движения пленки громкоговоритель воспроизведет звук, неотличимый на слух от исходного. Я предлагаю называть такие звуки или шумы масштабно-инвариантными.

Белый гауссов шум после вышеописанных трансформаций представляет собой все то же маловразумительное гудение, а следовательно, его можно считать масштабно-инвариантным. Однако для создания моделей можно приспособить и другие масштабно-инвариантные шумы.

В главе 21 дельта-дисперсия случайной функции определяется как дисперсия приращения функции за приращение времени Δt . Дельта – дисперсия обыкновенной броуновской функции равна |Δt| (см. главу 25). Как я отметил в [348], для объяснения соотношения Херста R(d)/S(d)∝d H , где H может принимать любое значение, вполне достаточно, чтобы кумулятивный процесс X * был гауссовым процессом с обращающимся в нуль дельта - ожиданием и дельта – дисперсией, равной |Δt| 2H . Эти условия определяют некоторый уникальный масштабно-инвариантный случайный гауссов процесс. А поскольку показатель 2H представляет собой дробное число, этот уникальный процесс может с полным правом называться дробной броуновской функцией из прямой в прямую (приведенной). Подробности и иллюстрации можно найти в [404, 405, 406, 407, 408].