Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Для того чтобы понять, почему последовательные объемы годового стока рек являются независимыми величинами, следует начинать с учета объема воды, проходящей через естественные водоемы за сезон. Однако при естественном способе хранения ресурса мы получаем краткосрочное сглаживание статистики и можем рассчитывать, в лучшем случае, лишь на краткосрочную персистентность. С точки же зрения долговременности размерность графика совокупного стока остается, по существу (или «эффективно» - в том смысле, в каком это слово употреблено в главе 3), равной 3/2 .

Двигаясь дальше, стоит ознакомиться с трудами многочисленных авторов, которые гораздо лучше меня подкованы в извлечении на свет целой иерархии процессов, каждый из которых имеет собственный масштаб. В простейшем случае вклады компонентов носят аддитивный характер. Первый компонент отвечает за естественные водоемы, второй учитывает микроклиматические изменения, третий – макроклиматические изменения и т.д.

К сожалению, бесконечный диапазон персистентности требует бесконечного количества компонентов, и в итоге Модель обзаводится бесконечным же количеством параметров. Необходимо еще объяснить, почему сумма различных вкладов масштабно-инвариантна.

На одном из этапов обсуждения функция (корреляция) записывается как бесконечная сумма экспоненциальных функций. Я уже не помню, сколько раз я пытался убедить окружающих в том, что показатель гиперболичность этой суммы ничуть не проще, чем объяснить гиперболичность исходной кривой, и сколько бесконечных часов потратил я на доказательство того, что все попытки высосать эту причину из пальца обладают лишь магической (но никак не научной) ценностью – по крайней мере до тех пор, пока остаются безрезультатными. Можете себе представить, каким облегчением оказалось для меня открытие, что я не одинок в своих трудах, - и самому Джеймсу Клерку Максвеллу приходилось в свое время заниматься чем-то подобным (см. раздел масштабная инвариантность: живучие панацеи из прошлого в главе 41).

Разумеется, практикующему инженеру-гидрологу ничего не стоит навязать любому процессу конечный внешний порог, величина которого будет сравнима со сроками выполнения самого затянутого инженерного проекта.

Формальное определение.Шум X(t) следует называть масштабно-инвариантным, если либо сама функция X , либо ее интеграл или производная (повторные, если возникает такая необходимость) самоаффинны. То есть функция X(t) статистически тождественна своему преобразованию при сжатии времени, сопровождаемом соответствующим изменением интенсивности. Следовательно, должен существовать такой показатель α>0 , что функция X(t) была бы статистически тождественна функции h −α X(ht) при любом h>0 . В более общем виде (особенно для случая дискретного t ) функцию X(t) следует называть асимптотически масштабно-инвариантной, если существует некая медленно изменяющаяся функция L(h) - такая, что функция h −α L −1 (h)X(ht) стремится к пределу при h→0 .

Такое определение подразумевает необходимость проверки всех математических характеристик функций X(t) и h −α X(ht) . А это означает, что в эмпирической науке масштабную инвариантность никак нельзя доказать, и в большинстве случаев заключение о наличии этого свойства делается на основании одного – единственного критерия, который затрагивает только какой-нибудь один аспект тождественности – например, распределение длин пауз (глава 8) или отношение Херста R/S .

Наиболее широко распространенный критерий масштабной инвариантности основан на спектрах. Шум можно считать спектрально масштабно-инвариантным, если его измеренная спектральная плотность на частоте f имеет вид 1/f β , где β - некоторый положительный показатель. В случае, когда величина β настолько близка к 1, что становится возможным заменить 1/f β на 1/f , мы получаем так называемый « 1/f - шум»

Многие масштабно-инвариантные шумы находят в своих областях весьма интересные применения, а объединяет все эти шумы то, что их можно встретить буквально повсюду.

В этой главе, главными героями являются абсолютно искусственные изображения, имитирующие карты и фотографии гор и островов, мы предполагаем показать, что с помощью должным образом подобранных фрактальных поверхностей, определяемых броуновской случайностью, можно очень легко моделировать в первом приближении любые горы (например, Альпы). Кроме того, мы наконец познакомимся с разумной моделью естественных структур, с которых начиналось настоящее эссе, но которые до сих пор не давались нам в руки, - я говорю о береговых линиях.

Отправной точкой послужит следующее утверждение: поверхности гор представляют собой масштабно-инвариантные фигуры. Нова ли эта идея? Конечно же, нет! Она, правда, не была должным образом сформулирована и научно исследована, однако во всех остальных отношениях ее можно считать почти банальностью и общим местом. Приведем еще один пример в придачу к цитате, открывающей главу 2. В книге Эдварда Вимпера «Альпийские восхождения 1860 – 1869 гг.» на с. 88 читаем следующее: «Достойно упоминания и то, что форма … обломков скал …. В этом, по всей видимости, нет ничего удивительного, если признать, что горы в своей массе более или менее однородны. И малые, и большие формы образуются под воздействием одних и тех же процессов – один и тот же холод и одна и та же вода формируют и массу, и ее части.»

Для того чтобы согласиться с целесообразностью подробного исследования явления, столь образно описываемого Вимпером, совсем необязательно воспринимать его слова буквально. В этой главе я предпринимаю попытку такого исследования в рамках наиболее удобной для меня математической среды – броуновских и дробных броуновских поверхностей.

Фраза «видеть – значит верить» была применима еще к моим первым попыткам моделирования броуновских гор. (см. рис. 377 и 377). По мере роста качества графики росло и качество веры. Однако, в конце концов расхождения между моделью и нашим непосредственным опытом стали слишком большими, что привело к созданию новой модели, которая будет описана в следующей главе.

В основе нашего подхода к построению рельефа лежит построение его вертикальных сечений. Как уже указывалось в главе 4 и в пояснении к рис. 338, одной из причин написания этого эссе стало предположение (высказанное в [342]) о том, что скалярное случайное блуждание может являться грубым первым приближением поперечного сечения горы. Итак, я пустился на поиски случайной поверхности, вертикальные сечения которой представляли бы собой броуновские функции из прямой в прямую. В инструментарий строителя статистических моделей такая поверхность не входит, однако тут, по счастью, мне на глаза попалась одна весьма подходящая, хотя и малоизвестная претендентка.