Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Речь идет о броуновской функции точки из плоскости в прямую (B(P)) , определенной Полем Леви в [306]. Для того чтобы свести с ней близкое знакомство и получить возможность использовать ее в реальных моделях, не существует иного пути, нежели самое тщательное изучение уже готовой модели, изображенной на рис. 370. Это воображаемый броуновский ландшафт характеризуется фрактальной размерностью D=5/2 и, несомненно, является более пересеченным, чем бóльшая часть поверхности Земли.

Таким образом, перед нами грубая модель, которая так и напрашивается на возвращение на верстак для доработки. И все-таки она символизирует собой огромный – и прекрасный! – шаг вперед.

Предупреждение об опасности броуновских листов.Размножению различных вариантов броуновского движения не видно конца, и терминология здесь еще не совсем устоялась. Не следует путать упомянутую здесь броуновскую функцию из плоскости в прямую с броуновским листом. Последний представляет собой совершенно иной процесс, обращающийся в нуль вдоль координатных осей и строго изотропный. Подробности можно найти в книге [3], особенно интересны иллюстрации на с. 185 и 186.

Остановимся на минуту и оценим, насколько далеко мы уже продвинулись в изучении океанских береговых линий, определяемых в виде нуль – множеств (т.е. множеств точек, расположенных на уровне моря, включая и те, что принадлежат прибрежным островам). Броуновская береговая линия, изображенная на рис. 377, - первая встреченная мною кривая, которая а) лишена самопересечений, б) практически лишена самокасаний, в) имеет фрактальную размерность, явно большую 1, и г) изотропна. Более поздний вариант показан на рис. 373.

Точное значение размерности равно 3/2 . Так как это значение больше, чем большинство размерностей Ричардсона (рис. 57), применимость броуновской береговой линии несколько ограничена. Она и в самом деле напоминает северное побережье Канады или Индонезии, а возможно, даже западное побережье Шотландии или берега Эгейского моря – в общем, применима ко многим примерам, но, конечно же, далеко не ко всем. Впрочем, имея в распоряжении данные Ричардсона, было бы неразумно ожидать, что какое-то одно значение D окажется универсальным.

Весьма печально, что для моделирования реальной поверхности оказывается недостаточно простых броуновского рельефа и береговых линий (размерность D=3/2 ) – их можно было бы легко объяснить. В самом деле, броуновская функция представляет собой превосходное приближение «пуассоновского» рельефа, который образуется путем наложения независимых прямолинейных разломов. Берется горизонтальное плато и разламывается вдоль прямой, выбранной случайным образом. Затем, также случайно, выбирается разница между уровнями высоты двух сторон получившегося утеса – например ±1 с равными вероятностями (гауссово распределение). После этого начинаем все сначала, причем за k - м этапом следует деление на √ k (вследствие чего размер каждого отдельного утеса становится пренебрежимо мал по сравнению с общей суммой размеров остальных утесов).

Результат, получаемый при продлении описанной процедуры в бесконечность, представляет собой обобщение обыкновенного пуассоновского процесса во времени. Нет необходимости вдаваться в математические или физические детали, чтобы увидеть, что в этом рассуждении затрагивается, по меньшей мере, один аспект тектонической эволюции.

Так как механизм этот очень прост, было бы удобно считать, что когда-то очень давно, когда Земля пребывала в более «нормальном» состоянии, вся ее поверхность имела броуновский рельеф с размерностью D=5/2 . Однако эту тему я предлагаю на время отложить – мы вернемся к ней чуть позже.

Леви обнаружил, что броуновская функция из плоскости в прямую обладает одним весьма удивительным, на первый взгляд, свойством, которое имеет самые непосредственные практические последствия. В вольной формулировке это свойство выглядит следующим образом: различные части броуновского рельефа далеко не являются статистически независимыми. Таким образом, для того, чтобы вложить броуновскую функцию из прямой в прямую в броуновскую функцию их плоскости в прямую, необходимо отказаться от одного аспекта броуновской случайности, который до сих пор являлся ее самой значительной характерной особенностью – речь идет о независимости частей.

Рассмотрим две точки, расположенные, соответственно, к востоку и к западу от меридионального сечения рельефа. Рельеф вдоль меридиана представляет собой броуновскую функцию из прямой в прямую, следовательно, «наклон кривой» в каждой отдельной точке является независимой величиной. Кроме того, можно ожидать, что наш меридиан послужит чем-то вроде экрана – то есть знание рельефа в восточной точке никоим образом не повлияет на распределение рельефа в западной точке. Если бы это было так, то рельеф был бы марковским. В действительности же запад влияет-таки на восток – в том смысле, что порождающий процесс неизбежно привносит сильную глобальную зависимость.

Эта зависимость делает построение броуновской поверхности существенно более трудной задачей, нежели построение броуновской функции из прямой в прямую. Описанный в главе 25 процесс случайного срединного смещения, с помощью которого нам не удалось построить дробную броуновскую функцию из прямой в прямую (что задокументировано в главах 26 и 27), непригоден также и для построения обыкновенной броуновской функции из плоскости в прямую. То есть нельзя сначала привязать эту функцию к некоторой грубой решетке, а затем вписать в каждую ячейку ее значения независимо от остальных ячеек. Невозможно также построить ее по слоям: сначала для x=0 , затем для x=2ε (не принимая во внимание значения при x<���ε ) и т.д.

Вообще, любой алгоритм, который сулит простое пошаговое обобщение броуновской функции из прямой в прямую на «многомерное время», неизбежно дает, в конечном счете, функцию, систематически отличную от обещанной.

Как указывается в последнем разделе данной главы, в моделях, в создании которых я принимал участие, громоздкие теоретические определения были переформулированы таким образом, чтобы включать последовательные приближения с известными значениями погрешности. Однако я не могу поручиться за всех тех, кто присоединился к этой игре, вдохновившись моими предыдущими эссе.