Бенуа Мандельброт - Фрактальная геометрия природы

Допустим теперь, что опорной поверхностью земного рельефа является сфера. К счастью, мой ментор предоставил в наше распоряжение и соответствующую броуновскую функцию B O (P) из сферы в прямую (см. [308]). Ее несложно описать, она забавна и даже обладает, возможно, некоторой значимостью. Однако мы скоро убедимся, что ее также нельзя назвать реалистичной, поскольку, согласно ее предсказанию, береговые линии имеют размерность D=3/2 , - а это серьезный недостаток.

В простейшем определении функции B O (P) используются термины из теории шума – мы не будем их здесь определять, однако они, несомненно, известны многим читателям. На поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, функция же B O (P) представляет собой интеграл этого белого шума по поверхности полусферы с центром в точке P .

На угловых расстояниях, меньших 60° , функция B O (P) выглядит очень похоже на броуновскую функцию из плоскости в прямую. Однако при глобальном рассмотрении сходство пропадает.

Например, у функции B O (P) есть одно поразительное свойство: в случае, когда расположенные на поверхности сферы точки P и P' диаметрально противоположны, значение суммы B O (P)+B O (P') не зависит от конкретного расположения этих точек. В самом деле, эта сумма представляет собой всего лишь интеграл, взятый по всей сфере белого шума, использованной для построения функции B O (P) .

Таким образом, высокий холм в точке P соответствует всем глубоким ямам в диаметрально противоположной точке P' . Центр тяжести такого распределения не совпадает с центром опорной поверхности и вряд ли может находиться в состоянии устойчивого равновесия. Однако нам нет нужды беспокоиться: благодаря теории изостазии рассматриваемый рельеф оказывается избавлен от статической неустойчивости – и, как следствие, от слишком поспешного признания его непригодности в качестве модели. Теория эта утверждает, что почти твердая земная кора очень тонка под самыми глубокими океанскими впадинами и весьма толста под высочайшими горными вершинами, так что сфера, концентрическая с земной и проходящая чуть ниже глубочайших точек океана, делит кору на две почти равные части. Если согласиться с тем, что видимые горные вершины всегда следует рассматривать в сочетании с их невидимыми корнями, расположенными ниже сферы отсчета, то постоянство суммы B O (P)+B O (P') уже не обязательно предполагает наличие серьезного статического дисбаланса, хотя и остается по-прежнему удивительным.

Насколько хорошо вышеописанный вариант броуновского рельефа соответствует данным наблюдений? Исходя из сегодняшних очертаний континентов и океанов, размерность D оказывается неверной, а значит, соответствие следует признать неудовлетворительным.

С другой стороны, тектоника плит (теория раскола и дрейфа континентов) позволяет перенести наш тест на адекватность на 200 миллионов лет в прошлое, на только что сформировавшуюся Землю. Так как свидетельствами очевидцев мы в этом случае не располагаем, вероятность того, что наш тест провалится, резко уменьшается. Согласно Вегенеру – а его взгляды находят довольно широкую поддержку (см., например, [605]) – вся суша была некогда объединена в один большой континент, Пангею, а океаны образовывали один сверхокеан, Панталассию.

Подобно Пангее, рельеф, изображенный на рис. 375, представляет собой некое пятно суши, изрезанное здесь и там обширными полостями. Сходство это, однако, поверхностно и обманчиво. Броуновский рельеф на сфере демонстрирует, на первый взгляд, тенденцию к чрезмерному усилению очень крупномасштабных деталей, и происходит это в результате комбинации геометрических особенностей сферы и того факта, что броуновские правила для случая сферы предполагают сильную положительную корреляцию для углов, меньших 60° , и сильную отрицательную корреляцию между диаметрально противоположными (антиподальными) точками. При внимательном рассмотрении, сосредоточенном на менее глобальных особенностях, соответствие между моделью и реальностью еще более ослабевает; для углов, скажем, меньших 30° , броуновская береговая линия на сфере становится неотличимой от броуновской береговой линии на плоскости – со всеми сопутствующими последней недостатками.

Фрактальные хлопья, в которых функция высоты совпадает с функцией высоты описанной выше Пангеи (за исключением того, что здесь масштаб порядка величины составляет половину радиуса), похожи на отличающиеся иррегулярными формами спутники внешних планет. В противоположность фигурам, изображенным на рис. 25 и 26, такие хлопья не окружены «плавучими обломками», и, следовательно, размерность D является в этом случае только мерой иррегулярности, но не фрагментации.

Главным недостатком двух представленных броуновских моделей рельефа является то, что из размерность D=3/2 слишком велика для верного описания береговых линий. Как следствие, наши поиски более широко применимой модели приобретают неожиданный оттенок. Давным-давно, в главах 5 и 6, мы провозгласили возможность справедливости неравенства D>1 и тут же принялись искать способы заставить размерность D превысить 1. Теперь же перед нами обратная задача – добиться того, чтобы D оказалась меньше 3/2 . Для получения более гладких берегов нам необходим более гладкий рельеф и более гладкие вертикальные сечения.

К счастью, в предыдущей главе мы получили хорошую подготовку. Для построения модели вертикальных сечений я заменил броуновскую функцию из прямой в прямую ее дробным вариантом и убедился в том, что существуют случайные функции B H (P) из плоскости в прямую, обладающие такими сечениями. Размерность D поверхностей в этом случае равна 3−H (см. [3]), а для линий уровня и вертикальных сечений D=2−H .

Таким образом, мы оказываемся избавлены от каких бы то ни было трудностей в моделировании и можем получить любую размерность, какую бы ни потребовали эмпирические данные.

Определение D .Исходя из данных Ричардсона (см. главу 5), можно ожидать, что размерность «типичной» береговой линии будет близка к 1,2 , а размерность рельефа – к 2,2 . Следовательно, в большинстве случаев нас вполне удовлетворит параметр H , равный 0,8 , - пример такого рельефа можно видеть на рис. 371. Однако для описания некоторых конкретных участков земной поверхности понадобятся и другие значения. Значения D~2,05 описывают рельеф, в котором преобладают очень медленно изменяющиеся компоненты. Когда такой компонент представляет собой широкий склон, рельеф имеет вид неровного наклонного плато, а береговая линия отличается от прямой лишь наличием незначительных неправильностей. Вблизи вершины горы рельеф похож на неровный конус, а береговая линия – на несколько неправильный овал.