Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Аналогично, вероятность появления ровно x шестерок при бросании шести костей равна

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вообще вероятность появления x шестерок при n бросаниях равна

x = 0, 1, 2, 3, ..., n .

Эта формула задает вероятности, отвечающие так называемому биномиальному закону.

Вероятность появления хотя бы одной шестерки при шести бросаниях равна

При бросании 6 n костей вероятность появления не менее n шестерок равняется

Ньютону пришлось самому вычислять эти вероятности. Мы же можем прибегнуть к помощи таблиц (см., например, Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас, Вероятность, стр. 325 и 398). Наша табличка дает вероятности получения числа шестерок, не меньшего, чем математическое ожидание числа их появления, в 6 n бросаниях.

Итак, Пепайсу следовало предпочитать пари с шестью бросаниями пари с бо́льшим числом бросаний.

Биномиальное распределение рассматривается в уже цитированной книге «Вероятность», гл. VI.

У дуэлянта A мало оснований для оптимизма по поводу настоящей дуэли. Если он стреляет первым, то при попадании в C наверняка B попадет в него, поэтому A не должен стрелять в C . Если же A выстрелит в B и промахнется, то B , наверное, выведет из строя более опасного C первым и A сможет стрелять в B с вероятностью попадания 0.3. Если же A промахнется, то его песенка спета. С другой стороны, предположим, что A попадет в B . Тогда C и A будут перестреливаться до первого попадания. Шансы выигрыша A равны

(0.5)·(0.3) + (0.5)²·(0.7)·(0.3) + (0.5)³·(0.7)²·(0.3) + ...

Каждое слагаемое отвечает последовательности промахов C и A , заканчивающихся успехом A . Суммируя геометрический ряд, получаем

Таким образом, попасть в B и затем покончить с C — стратегия, дающая для A меньшую вероятность выигрыша, чем пропуск первого выстрела. Поэтому A должен стрелять в воздух, а затем стараться попасть в B .

Обсуждая эту задачу с Т. Лерером, я спросил его, благородно ли это решение с точки зрения кодекса о дуэлях. Лерер возразил, что подобный кодекс для дуэлей с тремя участниками не разработан, так что мы с полным основанием можем простить A преднамеренный промах.

Если первый вытянутый шар — красный, то неважно, из какой урны он вынут, так как теперь в этой урне будет поровну красных и черных шаров и второй шар не даст оснований для решения. Поэтому, если сначала вытянут красный шар, следует вернуть его в урну перед вторым извлечением. Если же вынут черный шар, то лучше не возвращать его в урну.

При такой стратегии вероятность правильного ответа равна:

Полная вероятность правильного решения приближенно равна (заменяя 100/201 на 1/2 и т. д.):

Если вытягивать оба шара без возвращения, то вероятность угадать приблизительно равна 5/8, а при возвращении 21.5/36 (0.625 < 0.597).

При a = 3 и b = 2 всеми возможными равновероятными последовательностями извлечения бюллетеней являются следующие:

АААВВ *ААВВА *АВВАА

*АВАВА *ВАВАА *ВААВА

*ВВААА ААВАВ *АВААВ

*ВАААВ ,

где звездочкой отмечены комбинации, в которых имеет место равновесное положение. Таким образом, в нашем случае искомая вероятность равна 8/10.

Перейдем теперь к общей ситуации произвольных a и b . Рассмотрим сначала те последовательности, в которых первое равновесное положение достигается в случае, когда подсчитаны 2 n бюллетеней, n ≤ b . Каждой последовательности, в которой A лидирует до первого ничейного результата, соответствует единственная последовательность, в которой лидирует B . Так, при n = 4 последовательности

ААВАВАВВ

с лидером A отвечает последовательность

ВВАВАВАА

в которой лидирует B . Эта последовательность получается из первой заменой A на B и B на A .

Итак, число последовательностей, в которых A лидирует до первой ничьей, равно числу последовательностей с лидером B . Задача сводится, таким образом, к вычислению вероятности равновесного положения, до которого лидирует B .

Так как за A подано большее количество голосов, то рано или поздно A становится лидером. Если первый бюллетень подан за B , то ничья неизбежна. Единственной возможностью ничьей с B , лидирующим в начале, является случай, когда первый бюллетень подан за B . Вероятность того, что это так, равна b /( a + b ). Но это же значение равно вероятности ничьей с лидирующим в начале A , и, таким образом, вероятность ничейного положения равна

где r = a / b . Заметим, что если a много больше, чем b , т. е. когда r велико, вероятность ничьей мала (что интуитивно вполне понятно). Формула верна также и при b = a , так как в этом случае вероятность ничьей равна единице.

Ниже мы обобщим метод решения задачи 22 и покажем, что вероятность отсутствия ничейного результата (при N четном и N нечетном) равна