Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

(1)

Если мы исследуем поведение каждого слагаемого, скажем, четвертого, то заметим, что при росте n оно стремится к −1/3!, так как

(2)

При n , стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r -го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n , стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к

Таким образом, с ростом r выражение стремится к сумме ряда

который является одним из способов вычисления e −1.

Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная , сходилась бы при больших n к e −2и, точно так же, стремится к e −m . Вообще стремится к e m при любом (целом или нет) значении m . Эти факты будут использованы в дальнейшем. Более строгое их обоснование можно найти в любом учебнике по дифференциальному исчислению.

Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью m / n фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.

Исследуем поведение этой вероятности при возрастании n и фиксированных r и m .

Для этого запишем ее в виде

С ростом n 1/ r ! и m r не меняются, а

n ·( n − 1)· ... ·( n − r + 1)/ n r стремится к 1, как указано в задаче 27, стремится к e −m и стремится к 1 (так как m и r фиксированы). Поэтому при больших n

Сумма этих вероятностей равна:

Ряд, записанный в скобках, является разложением e m .

Распределение, задаваемое вероятностями

называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.

Разобьем поверхность пластинки на n малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна p , а их среднее число есть np = 3. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда n растет, p становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее m = np . Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно r колоний на n маленьких площадках равна

где p = m / n . Заменим p на m / n в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 28. Пусть n → ∞. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона

При m = 3 и r = 3 получаем значение 0.224.

То, что m действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно:

Чтобы получить численные результаты для больших значений m , где r = m , можно использовать таблицы [10] См., иапример, Л. Н. Большев, Н. В. Смирнов, Таблицы математической статистики «Наука», 1965, стр. 360 (прим. перев.) . или формулу Стирлинга. Последняя дает

Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.

Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.

Вероятность продать ровно r кексов есть e −20·20 r / r !, как известно из задачи 28. Заменив 20 на m , мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть ∑ e − m · m r / r ! или

(A)

Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что

(B)