Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

В нашем примере b = 8, m = 7, и ответ равен 112/15.

Здесь мы существенным образом использовали тот факт, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Мы нашли среднее число пар BM или MB для каждых двух смежных мест и просуммировали по всем таким двойкам.

Ответ равен 4/7. Второй по мастерству игрок может занять второе место лишь в том случае, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком.

Если в турнире участвуют 2 n игроков, то в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком, 2 n − 1начальных ступеней, а всего имеется 2 n − 1 начальных ступеней (кроме занятой лучшим игроком). Таким образом, в турнире с 2 n игроками второй по мастерству может с вероятностью 2 n − 1/(2 n − 1) занять второе место.

(а). Обозначим близнецов через A к B . Пусть A занимает высшую ступень турнирной лестницы. Если B занимает смежное место, что происходит с вероятностью 1/7, то они заведомо встретятся в первом туре. Вероятность того, что B находится в паре, соседней с парой A , равна 4/7, и вероятность того, что они встретятся в этом случае, равна 1/7, так как для осуществления этого события каждый должен победить в первом поединке. Наконец, вероятность того, что B находится в нижней половине, равна 4/7, и в этом случае вероятность встречи равна 1/2 4= 1/16, так как оба должны выиграть в двух турах. Таким образом, полная вероятность встречи равна

(б). Заметим, что в турнире двух рыцарей близнецы заведомо встретятся. При 2² = 4 участниках вероятность такого поединка равна ½, для случая 2³ = 8 рыцарей, как уже было подсчитано, вероятность равна 1/4 = 1/2 n . Кажется естественным предположить, что в турнире 2 n рыцарей искомая вероятность равна 1/2 n − 1.

Докажем справедливость этого предположения с помощью метода математической индукции. Рассмотрим сначала случай, когда рыцари находятся в разных половинах турнирной лестницы. Как известно из задачи о теннисных турнирах, эта вероятность равна 2 n − 1/(2 n − 1). Если A и B находятся в разных половинах турнирной лестницы, то они могут встретиться лишь в финальном поединке. Вероятность выйти в финал для каждого рыцаря есть 1/2 n − 1, так как для осуществления этого события необходимо выиграть во всех предыдущих турах. Вероятность того, что A и B достигнут финала, равна (1/2 n − 1)² = 1/2 2 n − 2. Итак, вероятность встречи рыцарей из разных половин таблицы равна

[2 n − 1/(2 n − 1)]·(1/2 n − 2).

К этой вероятности следует прибавить вероятность поединка близнецов, которые оказались записанными в одну и ту же половину таблицы. Вероятность последнего события равна (2 n − 1− 1)/(2 n − 1), и, согласно индукционному предположению, вероятность схватки между близнецами в турнире из n − 1 тура равна 1/2 n − 2. Итак, вероятность встречи равна

что и доказывает наше утверждение.

Расположим 100 монет в ряд слева направо и будем бросать каждую. Вероятность какой-то заданной последовательности, составленной из 100 гербов и решек, равна (1/2) 100в силу независимости испытаний. Например, вероятность того, что вначале выпадет 50 гербов и затем 50 решек, равна (1/2) 100. Сколькими способами можно расположить 50 гербов и 50 решек в строку? В решении задачи 8 мы видели, что это число равно соответствующему биномиальному коэффициенту. Мы получаем

Следовательно, вероятность равного числа гербов и решек равна

Используя таблицы, получаем 0.07959 ≈ 0,08.

Для расчета больших значений факториалов часто пользуются формулой Стирлинга

где e — основание натуральных логарифмов. Относительная погрешность этой формулы приблизительно равна 100/(12 n ) %. Применим формулу Стирлинга к расчету вероятности равновесия

Так как 1/√2π ≈ 0.4, то наша приближенная формула дает 0.08, как и раньше. Более точное приближение с точностью до четвертого знака дает 0.0798 вместо 0.0796. Вывод формулы Стирлинга имеется в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.

Когда-то Сэмуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос. Детали истории можно найти, например, в статье «Samuel Pepys, Isaac Newton and Probability», в журнале «American Statistician», Vol. 14, № 4, Oct., 1960. На эту тему есть и другая литература. Насколько я знаю, решение этой задачи — единственная работа Ньютона по теории вероятностей.

Так как при бросании 6 костей в среднем появляется одна шестерка, при бросании 12 костей это среднее равно двум и при бросании 18 костей — трем, то часто считают, что вероятности указанных событий равны. Иногда полагают, что эта вероятность равна 1/2. Здесь довольно ясно видна разница между математическими ожиданиями и вероятностями. Если подбрасывается большое число костей, то вероятность того, что число шестерок не меньше среднего числа их появлений, действительно совсем немного превосходит 1/2. Таким образом, это эвристическое соображение оправдывается при большом числе подбрасываний, но при относительно малом их числе ситуация совсем другая. Для значительного числа костей распределение появления шестерок приближенно симметрично относительно среднего, и вероятность появления этого среднего мала. При небольшом же числе костей распределение асимметрично, и кроме того, вероятность появления числа шестерок, в точности равного его математическому ожиданию, достаточно велика.

Начнем с вычисления вероятности появления ровно одной шестерки при 6 бросаниях. Вероятность появления одной шестерки и пяти других очков в некотором определенном порядке равна . Искомая вероятность получается умножением этого количества на число возможных способов упорядочения одной шестерки и пяти других очков. В задаче 18 мы нашли, что это число равно . Таким образом, вероятность появления ровно одной шестерки равна