Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

поскольку Q есть доля последовательностей, для которых поглощение произойдет до достижения точки m + n , а 1 − Q — доля тех последовательностей, которые достигают положения m + n ; ( q / p ) m + n есть доля последовательностей, поглощаемых в нуле, если игра продолжается неограниченно долго. Тогда P = 1 − Q есть вероятность того, что игрок M выиграет. Из (1) находим

P = [1 − ( q / p ) m] / [1 − ( q / p ) m+n]. (2)

В нашем случае p = 2/3, q = 1/3, m = 1, n = 2 и P = 4/7, и, значит, лучше быть вдвое более искусным в игре, чем вдвое более богатым.

Если q = p = 1/2, то P в уравнении (2) принимает неопределенную форму 0/0. Применение правила Лопиталя дает

P = m / ( m + n ). (3)

Таким образом, если игроки равноискусны, то шансы на выигрыш игрока M равны 1/3, а его средний выигрыш равен 1/3·2 + 2/3·(-1) = 0. Игра в этом случае безобидна, т. е. математическое ожидание выигрыша равно нулю для каждого игрока.

Смелая игра (по терминологии Л. Дубинса и Л. Сэвиджа: L. Dubins and L. Savage, How to gamble if you must, 1963), т. е. ставка 20 долларов сразу, дает игроку вероятность выигрыша равную 18/38 ≈ 0.474. Вычисление вероятности выигрыша при осторожной игре по доллару за одну партию сводится к задаче о разорении игрока с

m = 20, n = 20, p = 18/38, q = 20/38.

Подставляя эти значения в формулу для вероятности выигрыша M , получаем

P = [1 − (20/18) 20] / [1 − (20/18) 40] = [8.23 − 1] / [67.65 − 1] ≈ 0.108.

Итак, осторожная игра уменьшает шансы игрока на выигрыш вчетверо по сравнению сосмелой игрой.

Интуитивное объяснение этого явления состоит в том, что смелая игра есть также быстрая игра, а быстрая игра сокращает время игры против казино, которая не является безобидной. Впрочем, мы видели, что интуиция, основанная на средних, не всегда ведет к правильным выводам о вероятностях. Дубинс и Сэвидж замечают, что им неизвестно доказательство, основанное на подобных интуитивных рассуждениях. Однако в нашем специальном случае удвоения начальной суммы при игре в «красное и черное» нижеследующие пояснения Сэвиджа основываются именно на этой идее.

Подготавливая эти пояснения об игре в казино для настоящей книги, Сэвидж сознательно опустил некоторые математические тонкости, касающиеся случая равенств в неравенствах для вероятностей.

В «Золотом раю» можно играть в любую безобидную игру, если только игрок располагает достаточным начальным капиталом. Игрок, входящий в «Золотой рай» с x долларами и желающий получить доход в y долларов, может достигнуть своей цели с вероятностью x /( x + y ), поставив все свое достояние x на единственный шанс выиграть y долларов с вероятностью x /( x + y ), что является, очевидно, безобидной игрой. Как известно, никакая стратегия не дает большей вероятности выигрыша, и вероятность выигрыша максимальна тогда и только тогда, когда играющий заведомо либо проигрывает x либо выигрывает y долларов.

«Меньший рай» походит на «Золотой рай», но с той существенной разницей, что, покидая игорный зал, игрок должен уплатить налог размером t (0 < t < 1) с любой положительной суммы, которую он приобрел во время игры. Поэтому для играющего не труднее и не легче выиграть y с начальным капиталом в x долларов, чем игроку в «Золотом раю» выиграть y / (1 − t ) долларов. Наибольшая вероятность, с которой он может достигнуть цели, равна поэтому

P max= [(1 − t ) · x ] / [(1 − t ) · x + y ]. (1)

Здесь крупье собирает налог размером t от положительного дохода, если он есть, после каждой сыгранной партии. В этом случае игрок, очевидно, находится не в лучших условиях, чем его собрат в «Меньшем раю». В частности, (1) есть верхняя граница для вероятности выиграть y долларов с начальным капиталом x в «Потерянном раю». Эта вероятность может быть достигнута при ставке всего капитала в одной партии, как и прежде. Однако указанная вероятность не может быть получена ни при какой стратегии, для которой вероятность выигрыша любой положительной суммы, меньшей чем y (после выплаты налогов), положительна. Чтобы убедиться в этом, заметим, что игрок в «Меньшем раю» может имитировать любую стратегию игрока из «Потерянного рая», откладывая после каждой партии ту сумму, которую отбирает крупье от игрока из «Потерянного рая». Таким образом, первый игрок может иметь больший ожидаемый доход, чем второй игрок при любой стратегии, в которой вероятность выигрыша любой положительной суммы, меньшей y , положительна.

В «Красном и черном» игрок может поставить любую сумму в игре с вероятностью w (0 < w < 1/2) выигрыша, равного его ставке. Иначе говоря, он выигрывает то, что полагалось бы при безобидной игре с (1 − w )/ w своей ставки, и затем уплачивает налог, равный t , где

t = (1 − 2 w ) / (1 − w ).

Поэтому вероятность для игрока в «Красное и черное» выиграть y долларов с начальным достоянием в x долларов не превосходит (1), так же как и для игрока в «Потерянном раю». В терминах величины w эта верхняя грань равна

w · x / [ w · x + (1 − w )· y ]. (2)

Более того, значение (2) может быть достигнуто только в том случае, когда вероятность выиграть положительную сумму, меньшую, чем y , в отдельных играх равна нулю. Причем заведомо игрок либо проигрывает ровно x долларов, либо выигрывает ровно y . Можно показать, что эта ситуация осуществляется только тогда, когда y = x , и игрок участвует только в одной смелой игре с вероятностью выигрыша w , определяемой из (2), суммы в y долларов.

Задача об отыскании точных верхних границ и оптимальных стратегий для игрока в «Красное и черное», который хочет выиграть сумму, отличную от x , более трудна и мы не будем ее рассматривать.

Услышав впервые эту задачу, покойный великий математик Джон фон Нейман дал ответ с точными тремя знаками за 20 секунд в присутствии публики, которой потребовалось для решения значительно больше времени.

Конечно, для того, чтобы задача имела определенный ответ, надо наложить некоторые условия, упрощающие дело. Материал, из которого изготовлена монета, сила, с которой ее подбрасывают, и свойства поверхности, на которую она падает, должны такими, чтобы задача допускала эмпирическую проверку.

Кажется естественным подобрать эти условия таким образом, чтобы монету можно было рассматривать как вписанную в сферу, центр которой совпадает с центром тяжести монеты. Сама монета при этом трактуется как прямой круговой цилиндр (рис. 10, 11).