Чарльз Мостеллер - Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Рис. 16.

Указанный метод заставляет думать, однако, что в среднем при многократном использовании такие оценки мало отличаются от истинного значения N при большом числе наблюдений. Если неизвестное число N подлежит оценке во многих задачах, то, следуя каждый раз приведенному методу (извлечь выборку, построить оценку), мы в среднем будем близки к истинному значению при достаточно больших объемах выборок.

С другой стороны, может быть и так, что вас не интересует приближение в среднем или недоступно большое число наблюдений, но вы хотите угадать значение N , несмотря на то, что это маловероятно. Тогда разумно оценить N как наблюденный максимум из номеров. Если вы, например, знаете номера двух локомотивов, то вероятность того, что один из двух номеров — максимально возможный, равна или 2/N.

Иногда пользуются методом доверительного оценивания, при котором в качестве оценки предлагается некоторый интервал для неизвестного параметра. Ограничимся случаем одного наблюдения. Если наудачу извлечь один из номеров 1, 2, ..., N , то вероятность появления каждого номера равна 1/ N . Поэтому вероятность того, что наш номер принадлежит некоторому множеству, равна числу элементов этого множества, деленному на N . Так, если, скажем, n — это случайный номер, а N — четное число, то P ( n > N /2) = 1/2, для нечетных значений N эта вероятность несколько больше. Таким образом, если n случайно, то вероятность события n > N /2 не меньше 1/2. Если мы наблюдаем значение n , а N не известно, то в качестве верхней границы для N мы можем предложить 2 n . В каждом отдельном случае утверждение 2 n > N верно или нет, однако, оно справедливо более, чем в половине случаев. Если желать увеличения процента правильных высказываний, то надо изменить доверительный предел.

Так, например,

и утверждение 3n ≥ N справедливо по крайней мере в 2/3 случаях. В нашей задаче, если мы хотим быть уверенными в справедливости нашего высказывания о значении числа N в 2/3 из 100% случаев, то можем сказать, что N лежит в промежутке с концами 60 и 180.

Другим часто используемым методом для оценивания является метод максимального правдоподобия, согласно которому значение N выбирается таким образом, чтобы сделать наблюденную выборку наиболее вероятной. Так, например, если N = 100, то наше наблюденное значение 60 имеет вероятность 1/100, в случае же N = 60 эта вероятность равна 1/60. Мы не можем оценить N значением, меньшим 60, так как для N = 59 или меньшем вероятность появления номера 60 равна нулю. Следовательно, если n — наблюденный номер, то оценкой максимального правдоподобия для N является само n .

В задаче не предполагалось наличие добавочной информации, такой, как «это большая железная дорога, и на ней по крайней мере 100 поездов, но, наверное, меньшее, чем 100 000», которая, конечно, может быть полезна.

(а). Случайность разлома стержня означает равномерную распределенность точки деления. Таким образом, вероятность того, что точка разлома находится в левой или правой половине стержня, одинакова. Если эта точка находится в левой половине, то левый кусок и является меньшим, его средняя длина равна половине от этой половины, что составляет четвертую часть длины стержня. Подобные рассуждения применимы и тогда, когда точка деления — на правой половине, так что ответ таков: одна четверть длины стержня.

(б). Можно считать, что точка перелома лежит в правой половине стержня. Тогда (1 − x )/ x является отношением короткого куска к длинному при условии, что сам стержень имеет единичную длину. Так как величина x равномерно распределена на отрезке [1/2, 1], то среднее отношение равно, вместо интуитивно ожидаемого ответа 1/3,

Можно считать, что стержень имеет единичную длину. Пусть x и y — точки перелома, причем x лежит слева от y (рис. 17).

Рис. 17. Промежуток с точками перелома x и y.

Согласно принципу симметрии каждый из трех кусков (левый, средний и правый) имеют среднюю длину 1/3, но нам надо найти, скажем, среднюю длину наименьшего куска. Если точки выбираются наугад, то обозначим через X положение первой, а через Y — положение второй точки. Тогда пара ( X , Y ) равномерно распределена на единичном квадрате (рис. 18), и вероятности событий вычисляются как площади соответствующих подмножеств квадрата. Так, например, вероятность того, что X < 0.2 и Y < 0.3, равна заштрихованной площади на рис. 18, что составляет 0.2·0.3 = 0.06.

Рис. 18. Единичный квадрат с равномерно распределенной величиной (X, Y).

Рис. 19. Незаштрихованная область отвечает случаю Y > X.

Предположим для удобства, что X лежит левее Y , т. е. X < Y . Тогда распределение сосредоточено на заштрихованном треугольнике на рис. 19. Вероятности по-прежнему пропорциональны площадям, но чтобы распределение было вероятностным, вся площадь треугольника должна быть умножена на 2. Мы хотим найти среднюю длину самого короткого куска. Для этого заметим, что минимальная длина равна либо X , либо Y − X , либо 1 − Y . Если X — наименьшее число из указанных, то

X < Y − X , или 2 X < Y

и

X < 1 − Y , или X + Y < 1.

На рис. 20 изображена область, отвечающая этим неравенствам. Видно, что X изменяется от 0 до 1/3. Из планиметрии известно, что центр тяжести треугольника отстоит от основания на расстоянии, равном 1/3 проведенной к нему высоты. Этим основанием в нашем случае является отрезок оси Y . Так как X -я координата вершины равна 1/3, то среднее величины X , или короткого отрезка, равно 1/3·1/3 = 1/9.

Рис. 20. Треугольник, обведенный жирной линией, соответствует случаю, когда левый кусок наименьший.